Lista de Exercícios III: Estatística Aplicada

Probabilidade

Autor

Yuri S. Maluf

Data de Publicação

23 de novembro de 2024

Informações Gerais

A lista de exercício deve ser entregue exclusivamente via Moodle. O conteúdo da lista pode ser encontrado nas notas de aulas no padawan.click. Qualquer dúvida me encaminhe um e-mail.

Q1

Sejam \(A,B\in\mathcal{F}\) subconjuntos de \(\Omega\). Utilizando os Axiomas de Kolmogorov, demonstre as propriedades abaixo.

  1. \(P(A\cap B)\leq P(A)\)

  2. Se \(A_1\subseteq A_{2}\) e \(A_2\subseteq A_{3}\) então \(P(A_1)\leq P(A_2)\leq P(A_3)\)

Note que não é necessário realizar a prova na linguagem matemática. Caso queira, mostre as relações utilizando argumentos escritos. Para tal encontre duas situações que podem ser representadas por conjuntos \(A\) e \(B\), e que a relação entre elas é justamente o que você pretende demonstrar.

Q2

Suponha que, em uma corrida de 7 cavalos, você sinta que cada um dos 2 primeiros cavalos tem 20% de chance de vencer, os cavalos 3 e 4 têm uma chance de 15%, e os três cavalos restantes têm uma chance de 10% cada. Seria melhor para você apostar, podendo ganhar o mesmo que apostou, na vitória dos três primeiros cavalos ou na vitória dos cavalos 1, 5, 6 e 7?

Q3

Obi-Wan leva dois livros para ler durante as férias. A probabilidade dele gostar do primeiro livro é de 0,5, de gostar do segundo livro é de 0,4 e de gostar de ambos os livros é de 0,3. Qual é a probabilidade dele não gostar de nenhum dos livros?

Q4

A probabilidade de fechamento de cada relé do circuito apresentado é igual a \(p\), onde \(0<p<1\).

Circuito Eletrônico com Relés

Se todos os relés funcionam independentemente, qual é a probabilidade de que haja corrente circulando entre os terminais \(A\) e \(B\)?

Q5

A companhia de seguros Vá com Deus (VD) acredita que as pessoas possam ser classificadas em três grupos: aquelas que são propensas a acidentes (barbeira), aquelas que são mais atentas ao trânsito (normal) e as que são extremamente atentas e habilidosa ao volante (expert). A estatística da companhia estima que uma pessoa barbeira \(\theta_{B}\) possui uma probabilidade de 0.4 de se envolver em um acidente \(A\) dentro de 1 ano, ou seja, \(P(A|\theta_{\text{B}})=0.4\). Para a pessoa classificada “normal” \(\theta_{N}\) a probabilidade da ocorrência de um acidente \(A\) \(P(A|\theta_{\text{N}})=0.2\) para o mesmo período. Já as pessoas que são um ás ao volante, os acidentes \(A\) são menos prováveis sendo \(P(A|\theta_{E})=0.05\) dentro de uma janela de 1 ano. Na hipótese da companhia saber a classificação do motorista ela cobraria o percentual de \(P(\theta_{k})+d\) sobre o valor do bem onde \(k=B,N,E\) e \(d=0.15\) é a taxa de lucro pelo risco.

  1. Suponha que João, um influencer das redes, deseje fazer o seguro de seu carro novo no valor de 300 mil reais na \(VD\). A vistoria é feita por seu antigo colega de faculdade, Guilherme. No momento de emitir a apólice de seguro, Guilherme precisa aferir qual tipo de motorista João se enquadra. No entanto, não existe nenhum histórico, pois faz pouco tempo que João obteve sua CNH. Olhando para o jeito de seu colega de faculdade e de forma imparcial, Guilherme acredita que há 60% de chance de João ser um expert, 35% de ser um motorista comum e 5% de ser barbeiro. Qual valor da apólice de 1 ano Guilherme deve emitir para seu colega?

  2. Na mesma semana, Guilherme realiza a primeira renovação da apólice do carro de sua também amiga de faculdade Beatriz. Durante todo ano, ela não apresentou nenhum caso de sinistro. No ano anterior, pela jeito de sua amiga, Guilherme havia estimado que Beatriz tinha uma boa chance de ser barbeira com \(P_{B}(\theta_{B})=0.5\). Ele cobrou 40 mil reais de sua amiga. Pela tabela FIPE o carro de Beatriz desvalorizou 3% no último ano. Qual deve ser o valor da nova apólice?

  3. Depois de 5 anos consecutivos com seguros da VD, Beatriz não apresentou qualquer registro de acidente em seu histórico, \((\bar{A}_{5}\cap \bar{A}_{4}\cap\bar{A}_{3}\cap\bar{A}_{2}\cap\bar{A}_{1})\) . Por outro lado, todos os anos João marcou reiterados incidentes \((A_{5}\cap A_{4}\cap A_{3}\cap A_{2}\cap A_{1})\). Descreva o julgamento \(P_{J}(\theta_{k}|A_{5}\cap A_{4}\cap A_{3}\cap A_{2}\cap A_{1})\) e \(P_{B}(\theta_{k}|\bar{A}_{5}\cap \bar{A}_{4}\cap\bar{A}_{3}\cap\bar{A}_{2}\cap\bar{A}_{1})\) de Guilherme após 5 anos. Diante deste histórico, como Guilherme vê seu antigo julgamento em relação aos seus amigos, João e Beatriz?

  4. Mediante o comportamento de Guilherme, podemos saber qual dos dois amigos ele julga ter maior chance de se envolver em acidente. Transcorrido os 5 últimos anos, há razões para que Guilherme se sentisse culpado ou orgulhoso? Assuma que Guilherme seja um pessoa sincera com seus julgamentos.

  5. Quanto Guilherme deveria cobrar de cada um considerando uma desvalorização anual de 3% para o carro de Beatriz e 6% para o carro importado de João?

Q6

O administrador de um hospital codifica os pacientes baleados atendidos no pronto-socorro de acordo com o fato de eles terem ou não plano de saúde (\(1\) se tiverem e \(0\) se não tiverem) e de acordo com a sua condição, que é classificada como boa (b), razoável (r) ou séria (s). Considere o experimento que consiste em codificar um paciente baleado.

(a) Forneça o espaço amostral deste experimento.

(b) Seja A o evento em que o paciente está em uma condição séria. Especifique os resultados de A.

(c) Seja B o evento em que o paciente não possui seguro. Especifique os resultados em B.

(d) Forneça todos os resultados do evento \(B^{c} \cup A\) .

Q7

Em certo estágio de uma investigação criminal, o inspetor encarregado está 60% convencido da culpa de certo suspeito. Suponha, no entanto, que uma nova prova que mostre que o criminoso tinha certa característica (como o fato de ser biologicamente do sexo masculino, canhoto, alto, ter cabelo escuro e barba). Se 20% da população possuem essa característica, quão certo da culpa do suspeito o inspetor estará agora se o suspeito apresentar a caraterística em questão?

Q8

Uma caixa contém 3 tipos de lanternas descartáveis. A probabilidade de que uma lanterna do tipo \(1\) funcione por mais de 100 horas é \(P(\text{on}>100|L_1)=0.7\) e as probabilidades referentes às de tipo 2 e 3 correspondem, respectivamente a \(P(\text{on}>100|L_2)=0.4\) e \(P(\text{on}>100|L_3)=0.3\). Suponha que 20% das lanternas na caixa sejam do tipo 1, 30% sejam do tipo 2, e 50% sejam do tipo 3 \(\left( P(L_{1}),P(L_{2}),P(L_{3})\right)=(0.2,0.3,0.5)\).

  1. Qual é a probabilidade de que uma lanterna aleatoriamente escolhida funcione mais que 100 horas? Isto é, qual o valor de \(P(\text{on}>100)\) ?
  2. Dado que uma lanterna tenha durado mais de 100 horas, qual é a probabilidade condicional \(P(L_{j}|\text{on}>100)\) de que ela seja uma lanterna do tipo \(j\) onde \(j = 1,2,3\) ?