Regime Juros Simples
Conceitos Fundamentais
Classificação Regimes e Séries
Por referência de capitalização
Juros Simples
Juros Compostos
Por período de capitalização
Contínuo
Discreto
Por regularidade
Séries Regulares
Séries Irregulares
Por risco
Séries Certas ou Determinísticas
Séries Aleatórias ou Estocásticas
Por tempo
Série Finita
Série Infinita
Introdução
Fundamento e conceitos do regime de juros simples
Características do comportamento da função \(\psi_{i}(t,V_{0})\)
Introdução de nomeclaturas e notações
Exemplos numéricos e distorções do regime simples
Primeiros passos com Hp12c
Descontos Racional
Descontos Comercial/Bancário
Revisão Express
Definição 1 (Função) A função é uma relação, \(f\), entre dois conjuntos na qual há uma correspondência entre elementos de um conjunto \(A\) com elementos de um conjunto \(B\). Para que essa relação entre o conjunto \(A\) e \(B\) seja uma função, cada elemento do conjunto \(A\) precisa ter um ÚNICO correspondente no conjunto \(B\). O conjunto \(A\) é chamado de domínio e o conjunto \(B\) de contradomínio.
Exemplo Função
Função \(f\), domínio \(A\) e contradomínio \(B\): \(f: A \rightarrow B\).
- Exemplo: função linear (1º grau, afim) \(f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\)
\[ f(x)=ax+b. \] - Exemplo: função quadrática (2º grau) \(x\in\mathbb{R}\) e \(f\in\mathbb{R}\). \[ f(x)=ax^2+bx+c. \]
- Exemplo: função exponencial \(x\in\mathbb{R}\) e \(f\in\mathbb{R^{+}}\). \[ f(x)=e^{ax}. \]
Função Linear
Qual dessas funções tem um comportamento linear? Considere \(a,b,c>0\)
\(f(x)=ax^2+bx+c\)
\(f(x)=\frac{b}{x}+3x\)
\(f(x)=a+bx\)
\(f(x)=be^{2x}\)
\(f(x)=log(be^{2x})\)
Crescimento Linear
No regime de juros simples a remuneração ou juros de cada período são calculados tendo como referência o valor inicial aplicado.
O valor pago ao investidor a cada período é rigorosamente o mesmo.
O montante total cresce sempre na mesma medida para todo período.
Em razão dos tópicos acima, podemos concluir que o regime simples gera um crescimento do saldo de forma linear.
Exemplo: Banco ACME
Exemplo 1 O investidor Pinky deseja aplicar R$ 5.000,00 no banco ACME com uma taxa de juros de 10% a.a. O banco ACME adota o regime de juros simples para seus correntistas e investidores. Transcorridos 5 anos, contabilize qual saldo credor que o Pinky terá no banco ACME ao final de cada ano.
| Ano | Valor Base | Saldo Início Ano | Juros Ano | Saldo Final Ano | Proporção |
|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 5.000,00 | 5.000,00 | 500,00 | 5.500,00 | 500/5000=0,10 |
| 2 | 5.000,00 | 5.500,00 | 500,00 | 6.000,00 | 500/5500=0,09 |
| 3 | 5.000,00 | 6.000,00 | 500,00 | 6.500,00 | 500/6000=0,083 |
| 4 | 5.000,00 | 6.500,00 | 500,00 | 7.000,00 | 500/6500=0,077 |
| 5 | 5.000,00 | 7.000,00 | 500,00 | 7.500,00 | 500/7000=0,071 |
Exemplo: Banco ACME
Figura 1: Saldo Final Pinky
Exemplo: Banco ACME
Exemplo: Banco ACME
Outro investidor chamado Cérebro decide também aplicar neste banco. Cérebro retira todo saldo no final de cada ano e aplica novamente no início do ano seguinte.
| Ano | Valor Base | Saldo Início Ano | Juros Ano | Saldo Final Ano | Proporção |
|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 5.000,00 | 5.000,00 | 500,00 | 5.500,00 | 500/5000=0,1 |
| 2 | 5.500,00 | 5.500,00 | 550,00 | 6.050,00 | 550/6050=0,1 |
| 3 | 6.050,00 | 6.050,00 | 605,00 | 6.655,00 | 605/6655=0,1 |
| 4 | 6.655,00 | 6.655,00 | 665,00 | 7.320,00 | 665/7320=0,1 |
| 5 | 7.320,00 | 7.320,00 | 732,00 | 8.052,00 | 732/8052=0,1 |
Exemplo: Banco ACME
Figura 2: Saldo Final Cérebro
Montante Total
A partir do que vimos temos:
O juros de cada período \(PV\cdot i\)
O juros total \(PV\cdot i\cdot n\)
Investimento inicial \(PV\)
Ao final teremos:
\[ \text{FV} = \text{principal} + \text{juros} \]
Montante Total
A partir do que vimos temos:
O juros de cada período \(PV\cdot i\)
O juros total \(PV\cdot i\cdot n\)
Investimento inicial \(PV\)
Ao final teremos:
\[ \begin{align} FV & = PV+PV \cdot i\cdot n\\ \end{align} \]
Montante Total
A partir do que vimos temos:
O juros de cada período \(PV\cdot i\)
O juros total \(PV\cdot i\cdot n\)
Investimento inicial \(PV\)
Finalmente obtemos:
\[ \begin{align} FV & = PV(1+i\cdot n)\\ \end{align} \]
Termos e Nomeclaturas
Calendário
Juros exato: ano civil ou seja, 365 dias.
Juros comerciais: ano comercial com 360 dias sendo 30 dias por mês.
Notação
O valor projetado no futuro é denotado por \(FV\) (Future Value) e frequentemente é chamado de montante final ou somente montante.
O valor investido inicialmente é denotado por \(PV\) (Present Value) e rotineiramente é chamado pelo termo valor principal.
Desconto Por Dentro ou Racional
A taxa de juros \(i\) é denominada como taxa de rentabilidade ou também taxa de desconto por dentro.
\[ i = \frac{1}{n}\left(\frac{FV}{PV}-1\right). \qquad(1)\]
O montante do desconto é expresso em valores monetários e é interpretado pela diferença \[ D_{in} = FV - PV. \] Reescrevendo em termos de \(PV\) temos
\[ \begin{align} D_{in} & = PV(1+in)-PV\\ & = PV + PV\cdot i\cdot n - PV\\ & = PV\cdot i\cdot n \end{align} \]
Desconto Por Dentro ou Racional
- Na prática \(PV\) é uma incógnita, porém conhecemos as outras variáveis.
- Substituindo a função \(PV\) na expressão de \(D_{in}\). \[ \begin{align} D_{in} & = FV-\frac{FV}{1+i\cdot n}\\ & = \frac{FV(1+i\cdot n)-FV}{1+i\cdot n}\\ & = FV\cdot\frac{i\cdot n}{1+i\cdot n}. \end{align} \]
Resgate de Título
Exemplo 2 Calcule o valor da taxa mensal de desconto por dentro usada numa operação de desconto de 60 dias de um título cujo valor de resgate é R$10.000,00 e cujo valor do principal é R$9.750,00
Sendo um total de 60 dias para encontrarmos a taxa mensal precisamos definir quantidade de período equivalente a esse período. Considerando o mês com 30 dias então 60/30 equivale a \(n=2\) meses. Utilizando a Equação 1 encontramos o valor de \(i\). \[ i = \frac{1}{n}\left(\frac{FV}{PV}-1\right)=\frac{1}{2}\left(\frac{10.000}{9.750}-1\right)=0,01282. \] Portanto, encontramos a taxa de desconto por dentro de 1,282%.
Desconto Por Fora, Comercial ou Bancário
O desconto por fora, \(D_{out}\), é obtido pela aplicação da taxa de desconto \(j\) sobre \(FV\). Partindo de \(PV\) temos \[ \begin{align} PV & = \text{montante final}-\text{desconto}\\ D_{out} & = FV-PV\\ & = FV-FV\cdot(1-j\cdot n)\\ & = FV-FV+FV\cdot j\cdot n\\ & = FV\cdot j\cdot n. \end{align} \] Podemos reescrever a equação acima da seguinte forma \[ \begin{align} PV & = \text{montante final}-\text{desconto}\\ & = FV-FV\cdot j \cdot n\\ & = FV\cdot(1- j n). \end{align} \] A partir da equação acima podemos explicitar o desconto \(j\). \[ j = \frac{1}{n}\left(1-\frac{PV}{FV}\right). \]
Desconto Por Fora, Comercial ou Bancário
O desconto por fora é aplicado sobre \(FV\) já o desconto por dentro é sobre \(PV\). Por meio das equações anteriores podemos estabelecer uma relação entre \(j\) e \(i\).
\[ \begin{align} \frac{FV}{1+in}& = FV(1-j n)\\ j\cdot n & = 1-\frac{1}{1+in}\\ j&=\frac{i}{1+in}. \end{align} \] Logo, \(j\leq i\). Reescrevendo e isolando \(i\) \[ i = \frac{j}{1-jn}. \]
Exemplo: Desconto Bancário
Exemplo 3 A pedido do seu pai, Ramonzito leva os seguintes títulos da empresa para serem descontados no banco ACME.
| Vencimentos (dias) | Valor do Título |
|---|---|
| 30 | R$ 10.000,00 |
| 60 | R$ 20.000,00 |
| 90 | R$ 30.000,00 |
| Total | R$ 60.000,00 |
Calcule o valor a ser creditado na conta da empresa, onde a taxa de desconto por mês é de 1%.
Exemplo: Desconto Bancário
- Vencimento 30 dias
\[ PV_{30} = FV(1-jn)=10.000(1-0,01\cdot 1) = 9.900. \] - Vencimento 60 dias
\[ PV_{60} = FV(1-jn)=20.000(1-0,01\cdot 2) = 19.600. \] - Vencimento 90 dias
\[ PV_{90} = FV(1-jn)=30.000(1-0,01\cdot 3) = 29.100. \]
Desta forma, o valor creditado deverá ser
\[
PV = PV_{30}+PV_{60}+PV_{90} = 9.900 + 19.600 + 29.100= 58.600.
\]
O valor recebido é de R$ 58.600,00.
