Juros Compostos

Capitalização de juros no regime composto

Prof. Yuri Maluf

Classificação Regimes e Séries

Por referência de capitalização
1. Juros Simples
2. Juros Composto
Por período de capitalização
1. Contínuo
2. Discreto

Por regularidade
1. Séries Regulares
2. Séries Irregulares
Por risco
1. Séries Certas ou Determinísticas
2. Séries Aleatórias ou Estocásticas
Por tempo
1. Série Finita
2. Série Infinita

Escopo

Fundamento e conceitos do regime de juros composto
Características do comportamento da função $\psi_{i}(t,V_{0})$
Introdução de nomeclaturas e notações
Exemplos numéricos e aplicações
Primeiros passos com Hp12c
Desconto Racional
Desconto Comercial/Bancário

Revisão: Banco ACME

Relembrando: O banco ACME adota o regime de juros simples e oferece papéis com juros de 10% a.a. Tanto Pinky quanto Cérebro investiram nesses papéis por um período de 5 anos. No entanto, cada um adotou uma estratégia diferente.

Revisão: Banco ACME

Evolutivo dos rendimentos do investidor Pinky.

Ano	Base	Saldo Início	Juros	Saldo Final
1	5.000,00	5.000,00	500,00	5.500,00
2	5.000,00	5.500,00	500,00	6.000,00
3	5.000,00	6.000,00	500,00	6.500,00
4	5.000,00	6.500,00	500,00	7.000,00
5	5.000,00	7.000,00	500,00	7.500,00

Revisão: Banco ACME

Evolutivo dos rendimentos do investidor Cérebro

Ano	Base	Saldo Início	Juros	Saldo Final
1	5.000,00	5.000,00	500,00	5.500,00
2	5.500,00	5.500,00	550,00	6.050,00
3	6.050,00	6.050,00	605,00	6.655,00
4	6.655,00	6.655,00	665,00	7.320,00
5	7.320,00	7.320,00	732,00	8.052,00

Revisão: Banco ACME

A partir dessas informações, responda dois pontos cruciais.

Como descrever de forma genérica (qualquer ano $n$) a evolução do dos saldos para ambos os investidores?
Como caracterizar as curvas de evolução dos saldos em cada um dos casos?

Crescimento Exponencial

No regime de juros compostos a remuneração ou juros de cada período são calculados tendo como referência o valor atual.
O valor pago ao investidor a cada período aumenta.
O montante total cresce sempre, porém não na mesma medida para todo período.
Em razão dos tópicos acima, podemos concluir que o regime composto segue tipo de crescimento? Linear, quadrático ou exponencial?

Juros Compostos - Fórmulas

Valor Futuro

\[ \begin{align} FV& = \text{principal} + \text{juros}\\ FV & = PV(1+i)^{n}\\ \end{align} \qquad(1)\]

Valor Presente

\[ \begin{align} PV& = \text{montante} - \text{desconto}\\ PV & = \frac{FV}{(1+i)^{n}}.\\ \end{align} \]

Cálculo do Montante

Exemplo 1 Qual é o valor de resgate de uma aplicação financeira de R$ 12.450 após 30 meses, a uma taxa de 4,5% a.m. ?

Sabemos: $PV = 12450$, $n=30$ e $i=0.045$ e $FV = ?$.

A partir da Equação 1 temos: \[ FV = 12450(1+0.045)^{30} \]

Cálculo Montante via Hp12c

1 0.045 + 30 $y^x$ 12450 x

30 n 4.5 i 12450 PV

Cálculo do Principal

O cálculo do principal envolve situações onde já sabemos quanto iremos receber ou pagar no futuro.
Muitas vezes chamamos o processo de encontrar a quantia do principal de trazer a valor presente.
Um exemplo clássico é computar o valor de um título de dívida de uma empresa ou mesmo país.
Outro exemplo muito comum é no estudo da viabilidade econômico financeiro de um projeto onde há uma projeção (futuro) nos valores de fluxo de caixa e comparamos com o montante a ser investido para receber tal fluxo.
Para encontrar o valor do principal devemos saber os valores das variáveis que define sua expressão matemática. Quais são?

Título Tesouro Americano

Título Tesouro Americano - Treasury Bill

Título da Dívida (Debêntures)

Exemplo 2 O título da dívida da empresa Beta possui valor de face de 20.000,00 e com vencimento em janeiro de 2023. A Beta é uma grande empresa, sendo a principal do seu setor, e apresenta ótima liquidez. Por estas razões os analistas de mercado deram nota máxima de risco (risk rating - default risk). O título do tesouro do seu país sede possui a mesma classificação e oferece uma taxa de 1.5% a.m. ConsidereEsse título é negociado livremente no mercado secundário.

a) Qual deve ser o valor negociado no mercado secundário do título da empresa Beta no mês de maio de 2021?

b) Qual valor do título da dívida da Beta em setembro de 2021 se não houve mudanças significativas na econômia e nos balanços financeiros da empresa?

Título da Dívida (Debêntures)

c) Em março de 2022 o governo decide reduzir a taxa de juros para 0.34% a.m na tentativa de aquecer sua econômia. Sendo um analista numa corretora do mercado de capitais, qual recomendação você daria para os clientes da corretora que adquiriram o título em abril de 2021?

d) Em que período o valor do título seria negociado em 16000 se mantidas as condições da econômia?

Título da Dívida (Debêntures)

O valor do título, independente do que ocorra, será de 20.000 - FV.
Até o vencimento do título, há um período de 20 meses - n.
Como a empresa Beta possui a mesma classificação do título do seu governo, seu título em nesse período deve ser compatível - i.
O preço do título em maio de 2022 representa o seu valor presente - PV.

Título da Dívida (Debêntures)

\[ PV = \frac{FV}{(1+i)^{n}}=\frac{20000}{(1+0.015)^{20}} \]
\[ PV = \frac{FV}{(1+i)^{n}}=\frac{20000}{(1+0.015)^{16}} \]
\[ PV = \frac{FV}{(1+i)^{n}}=\frac{20000}{(1+0.0034)^{10}} \]

Título Dívida

serieTime = transpose(tempodb)
serieBond = serieTime.map((t) => {
        return({tempo: t.tempo, titulo: Math.round(20000/Math.pow(1+tx/100,20-t.tempo),3) })
})

Plot.plot({
  style: "overflow: visible;",
  y: {
        grid: true,
        color: {legend: true},
        domain: [7000, 21000],
  },
  marks: [
    Plot.ruleY([0]),
    Plot.lineY(serieBond, {x: "tempo", y: "titulo", stroke: "#544FC5", tip: true})
    //Plot.lineY(serieBond, {x: "tempo", y: "titulo", stroke: "#544FC5", tip: true})
    //Plot.text(serieBond, Plot.selectLast({x: "tempo", y: "titulo", z: "ativo", text: "ativo", textAnchor: "start", dx: 3}))
  ]
})

Cálculo da Taxa

De modo geral, o objetivo de encontrar a taxa envolve situações onde já sabemos a quantia paga/recebida em um primeiro momento e a quantia que foi realizada em um segundo momento ou mesmo que será (futuro) paga/recebida.
Mais especificamente para calcular a taxa devemos ter claro qual o valor presente e futuro e o intervalo de tempo transcorrido entre estas duas quantias.
Diversas situações do cotidiano nos deparamos com esse tipo de problema.
Um exemplo seria calcular qual a taxa de juros incidente no momento de uma negociação de dívida com o cartão de crédito ou operadora de telefonia.
Na parte de gestão corporativa encontrar a taxa envolve situações onde estamos interessado em saber qual a taxa interna de retorno de um investimento.
Outro caso ocorre quando gestores buscam mensurar os riscos de uma operação qualquer como: aquisição, fusão, participação acionária, concessão de crédito etc

Liquidez Banco ACME

Exemplo 3 O banco ACME necessita elevar sua liquidez para se adequar as normas estabelecidas pelo do banco central do seu país. O acordo com o banco central definiu que a ACME deve aumentar seu caixa em 2.5 milhões sendo pelo menos 1 milhão dentro de 1 ano e o restante no segundo ano. Deste modo, os executivos Pinky e Cérebro decidem vender sua principal carteira de crédito denominada RIP. A soma do saldo devedor dos empréstimos e financiamentos realizados pela carteira é de 4 milhões.

Liquidez Banco ACME

Ao lançar no mercado o banco ACME vende a sua carteira por 3 milhões na condição de receber 1 milhão a vista e o restante no segundo ano. Pinky fica feliz em cumprir o acordo do banco central, mas Cérebro fica na dúvida.

Qual a taxa anual envolvida na operação de venda da RIP?
Suponha que o banco ACME poderia recorrer a empréstimos no mercado de 17% a.a. Essa operação da venda da RIP foi um bom negócio?

Liquidez Banco ACME

Com base no diagrama de fluxo de caixa \[ \begin{align} 4 & = 1 + \frac{2}{(1+i)^2}\\ (1+i)^2 & = \frac{2}{3}\\ i & = \left(\frac{2}{3}\right)^{1/2}-1\\ i & = -0.18. \end{align} \]

Liquidez Banco ACME

Cálculo do Prazo

Encontrar a extensão do prazo aparece quando estamos interessados em responder o problema em termos de quantidade de tempo necessária para a realização de uma operação.
Aqui o tempo é a variável de interesse. Para calcular seu valor devemos saber qual o ponto inicial, $PV$, qual o ponto final $FV$ e quão rápido transitasse entre os dois pontos, $i$. Mais especificamente para calcular a taxa devemos ter claro qual o valor presente e futuro e o intervalo de tempo transcorrido entre estas duas quantias.
Este tipo de problema ocorre frequentemente tanto em situações envolvendo finanças pessoais como aposentadoria quanto na gestão corporativa.
Um exemplo de situação seria determinar quanto tempo um pessoa poderá se aposentar a partir de determinadas condições e verificar sua viabilidade.